3、推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边’域“AAS”）

    4、边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）

    由边边边公理可知，三角形的重要性质：三角形的稳定性。

    除了上面的判定定理外，“边边角”或“角角角”都不能保证两个三角形全等。

    5、直角三角形全等的判定：斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边，直角边”或“HL”）

    六、角的平分线

    定理1、在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

    定理2、一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

    由定理1、2可知：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。

    可以证明三角形内存在一个点，它到三角形的三边的距离相等这个点就是三角形的三条角平分线的交点（交于一点）

    在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互为逆命题，如果把其中的一个做原命题，那么另一个叫它的逆命题。

    如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫互逆定理，其中一个叫另一个的逆定

理。

    例如：“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”是互逆定理。

    一个定理不一定有逆定理，例如定理：“对顶角相等”就没逆定理，因为“相等的角是对顶角”这是一个假命颗。

七、基本作图

限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作网＿

最基本、最常用的尺规作图．通常称为基本作图，例如做一条线段等于己知线段。

1、作一个角等于已知角：作法是使三角形全等（SSS），从而得到对应角相等；

2、平分已知角：作法仍是使三角形全等（SSS）．从而得到对应角相等。

3、经过一点作已知直线的垂线：（1）若点在已知直线上，可看作是平分已知角平角；（2）若点在已知直线外，可用类似平分已知角的方法去做：已知点 C为圆心，适当长为半径作弧交已知真线于A、B两点，再以A、B为圆心，用相同的长为半径分别作弧交于D点，连结CD即为所求垂线。

4、作线段的垂直平分线：

线段的垂直平分线也叫中垂线。

做法的实质仍是全等三角形（SSS）。

也可以用这个方法作线段的中点。

八、作图题举例

重要解决求作三角形的问题

    1、已知两边一夹角，求作三角形

．  2、已知底边上的高，求作等腰三角形

    九、等腰三角形的性质定理

    等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）

    推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，就是说：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

    推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

    例如：等腰三角形底边中线上的任一点到两腰的距离相等，因为等腰三角形底边中线就是顶角的角平分线、而角平分线上的点到角的两边距离相等n

    十、等腰三角形的判定

    定理：如果一个三角形有两个角相，那这两个角所对的两条边也相等。（简写成“等角对等动”）。

    推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形

    推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

    推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于3O°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

    十一、线段的垂直平分线

    定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

    逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

    就是说：线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合。

    十二、轴对称和轴对称图形

    把一个图形沿着某一条直线折叠二如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线轴对称，两个图形中的对应点叫关于这条直线的对称点，这条直线叫对称轴。

    两个图形关于直线对称也叫轴对称。

    定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形。

    定理2：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。

    定理3：两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长相交。那么交点在对称轴上。

    逆定理：如果两个图形的对应点连线被一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

    如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是对称轴。

    例如：等腰三角形顶角的分角线就具有上面所述的特点，所以等腰三角形顶角的分角线是等腰三角形的一条对称轴，而等腰三角形是轴对称图形。

    十三、勾股定理

    勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方：

    勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：a^2+b^2=c^2

    那么这个三角形是直角三角形

例题：

    例1、已知：AB、CD相交于点O，AC∥DB，OC=OD,E、F为AB上两点，且AE=BF.求证：CE=DF

分析：要证CE=DF，可证△ACE≌△BDF，但由已知条件直接证不出全等，这时由已知条件可先证出△AOC≌△BOD，得出AC=BD，从而证出△ACE≌△BDF.

证明：略

例2、已知：如图，AB=CD，BC=DA，E、F是AC上两点，且AE=CF。求证：BF=DE

分析：观察图形，BF和DE分别在△CFB和△AED（或△ABF和△CDE）中，由已知条件不能直接证明这两个三角形全等。这时可由已知条件先证明△ABC≌△CDA,由此得∠1=∠2，从而证出△CFB≌△AED。

证明：略

例3、已知：∠CAE是三角形ABC的外角, ∠1=∠2， AD∥BC 。

求证：AB=AC

证明：略

例4、已知：如图 3－ 89，OE平分∠AOB，EC⊥OA于 C，ED⊥OB于 D．求证：（1）OC＝OD；（2）OE垂直平分CD．

分析：证明第（1）题时，利用“等角的余角相等”可得到∠OEC＝∠OED，再利用角平分线的性质定理得到 OC＝OD．这样处理，可避免证明两个三角形全等．

证明：略

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第五章：解直角三角形

第四章：相似形

第二章：三角形