【数学】约瑟夫问题

　　一直都喜欢数学里一些奇奇怪怪的问题，每次遇到这样有趣的问题都会饶有兴趣的小研究一番，一般情况下都弄不出什么名堂，实在忍不住就去翻答案，往往神奇的解答会让我目瞪口呆--我喜欢那种被震撼的感觉。


　　许多人认为数学是一门枯燥难懂的学科，其实数学本身是很有趣的，任何问题的发现、任何分支的产生都有它的历史渊源，我喜欢从实际问题中去学数学，像听故事一样。我记得著名的七桥问题就是十分有趣的，难倒了当时的许多人，后来欧拉将其转化成数学模型并给出了解答--连通网络可一笔画的充要条件是它们是连通的，且奇顶点的个数为或。可是谁又知道这便开创了数学的新分支--图论与几何拓扑呢？可惜多少人光听到"图论与几何拓扑"的名字就已经望而却步了。


　　这篇小文章里说的也是一个很有趣又很有名的数学问题--约瑟夫问题。


　　在古代的趣味数学问题中，最著名的莫过于约瑟夫问题了。该问题说的是：把若干个人排成一圈，从某个位置数起，每数到第个就杀掉，最后剩下的是事先指定的几个人。这个问题很可能起源于古罗马军队中对士兵"逢十取一"的惩罚制度。在公元世纪的一部著作里，一位以Hegesippus为笔名的作者告诉我们，约瑟夫（Josephus）就是利用这种方法挽救自己的性命的：当罗马人Vespasian攻陷Jotapat之后，约瑟夫和另外四十个犹太人躲到一个山洞里避难。让约瑟夫感到麻烦的是，除了他自己和另一名特殊的朋友外，其余39人都决心自杀以便不落入罗马人之手。尽管约瑟夫不愿意这样做，但他不敢公然提出反对；口头上只好同意。但是，他提出了自杀行动必须按顺序进行，并建议：所有人排成一圈，随意从某一位置开始数，每数到三的人拉出圈子杀掉，最后剩下的一位自杀。他把自己和朋友分别安排在第16个和第31个位置，成功的避开了死神。该问题分别出现于10世纪初、11世纪和12世纪的三部手稿里。文艺复兴时期，Ramus在其数学著作中的介绍则使这个问题得以迅速流传开来。


　　后来，它被改编成新的版本：


　　一艘船载有15位土耳其人和15位基督徒。途中遇到风暴，波涛汹涌、孤舟无援、将要沉没。为了挽救船只，保全船员，必须将一半乘客扔进海里。于是乘客排成一圈，从某个位置开始点数，每点到九，就把这个位置的人扔到海里。问如何排列方能使所有基督徒幸免于难？


　　我们必须承认约瑟夫是非常聪明的，换成其他人恐怕都命丧黄泉了。


　　然而约瑟夫问题真正让我觉得不可思议的是下面这件事：


　　从前，有位富农，生了30个孩子，其中15个为前妻所生，15个为第二个妻子所生。第二任妻子急于要让自己生的长子成为财产继承人。一天，她对丈夫说："亲爱的丈夫，你老了，该立一个继承人了。让我们把30个孩子排成一圈，从其中某一个开始点数，每点到第10，第10个人就退出圈子，被淘汰掉，最后剩下的一个人就是你的继承人。"丈夫觉得妻子的这个建议很合理，于是同意按这个方法选继承人。但妻子早有预谋，她让30个孩子按照她预定的位置站成一圈（其中穿白衣的是前妻的孩子，穿黑衣的是后妻的孩子）。按顺时针方向轮番循环点数，结果前面被淘汰掉的全是白衣人。眼看着最后一个白衣孩子马上要被淘汰出局，可怜的老头才明白其中有诈。于是，他马上建议接下来按逆时针方向点数（仍为逢10淘汰，且从仅余的白衣孩子开始）。妻子没有时间算计，仗着自己的孩子以15:1的明显优势，她答应按反方向点数。结果，前妻的孩子以1:15的劣势险胜，获得继承权。


　　这是记载在日本文献里的"继子立"问题。前妻的孩子以1:15的劣势险胜，获得继承权，这简直让我目瞪口呆，这种巧合精密的简直无法特意安排。假设这个世界上有上帝，我不清楚他要对这件事做什么评论？

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