因式分解是初中数学内容中特别有意思的专题，虽然中考对因式分解的要求并不高，但由于其本身很有意思，且在很多知识中都有相关联系，所以在一些自招考试，竞赛考试中，是命题者特别喜欢的选题方向。

加之最近研究因式分解，颇有趣味，觉得不写这么一个专题，就不痛快。“一提二代三分组，十字拆添换主元”是我自己总结的关于因式分解的方法口诀“一提二代三分组”指的是提公因式法、代公式法、分组分解法，这三个方法是因式分解的基础方法，可谓因式分解的入门基础，教材上都有详细说明，本文自不赘述。

“十字拆添换主元”，指的是十字相乘法、拆项与添项、换元法和主元法，这些方法虽然教材上不多讲，也是应付那些较难因式分解的常用套路，本文重点分析“十字拆添换主元”这些方法。

☆ 十字相乘法 ☆

这是一般情况下的十字相乘

如遇到类似于如下这种：

就要用到一种略复杂的十字相乘法

如果只看二次项：

如果看只含x的项：

如果只看含y的项：

把上述三个算式拼在一起，写成

这种因式分解的方法称为双十字相乘法，

也称为长十字相乘法

“为了解决问题，

常常先忽略一些条件

导出部分结果

然后再把几个部分综合起来

这种欲擒故纵的方法

在数学中屡见不鲜”

（单墫[因式分解]）

从哲学角度，

也体现了整体与部分的联系

如果整体角度没有思路

不妨拆成几个部分

各个击破，再综合起来

问题迎刃而解

读者可根据这个方法

试着将下面的多项式因式分解

答案在文末公布）

☆ 拆项与添项 ☆

先来看这个式子

当然熟知立方和公式的话，

可以直接代公式法进行因式分解

但如果不知道公式呢？

我们可以通过添项的方法让它能够

用“一提二代三分组”进行处理

  

这种无中生有，空手套白狼的手段

可以将一些看似无法分解的多项式

瞬间有了可以被撕开的口子

当然，添加的项自然是有借有还

加多少，自然要减去多少

大自然守恒的定律是无处不在的

我们再来看一个

有添项，自然就有拆项

阴阳对立又和谐统一，是无处不在的

我们来观察下面这个拆项的例子

拆项与添项，

应是因式分解中最有趣的方法

当然，关键在于怎么拆，如何添

一般是要根据系数的一些特征去处理

这就需要同学们有细微的洞察力

敏锐的数学逻辑思维

感兴趣的同学可用拆项添项法

处理以下因式分解问题

（答案在文末公布）

☆ 换元法（整体思维） ☆

换元法，换不换不是关键

关键是一种整体的思维

有了这种思维，

换与不换，都是换了

我们来看这道因式分解：

如果直接以多项式展开，

势必运算量巨大，无法开心算下去

倘若将x²+y²看作一个整体

整个形势就明朗了

换元法，要求同学们站在

一个宏观的角度，从整体上把握

透过那些看似复杂的表象，

抓到题目清晰的本质

看明白了，可以不换

看不明白，可以换一个新元

当然最后要记得换回来

再来看一题

本题的关键在于第三步

将x²-10x+16和x²-10x+24的平均数

看做了一个整体

这也是一类较常见的

“平均值换元法”

再来看一题

这题的系数其实是对称的

当有这种对称结构的时候

可以将x²+1看作一个整体

进行因式分解

当然这道题还有一个拆项的过程

姑且称这种方法为“对称式换元”

同学们可以用换元的整体思维

处理以下因式分解问题

当然还有一个比较有意思的证明：

四个连续自然数的积与1之和

必是一个完全平方数

（答案在文末公布）

☆ 主元法 ☆

当我们碰到一类字母较多

的因式分解问题时

为了理清楚脉络，

可能要让其中一个字母为主元

按主元的次数重新排列后

可能解题思路就清晰了

我们可以以上文中“双十字相乘法”

的例题来进行说明“主元法”

以x为主元，将y看作已知数

就变成了一个关于x的二次三项式

从而对其进行十字分解

当然，这十字分解是含有字母的，

但十字交叉的道理是一样的

感兴趣的读者可以以y作为主元

x看作已知数，再行分解一次

我们再来看一个三个字母的

此题以a为主元，

然后进行提公因式

十字相乘法等处理

最终将其因式分解

当然以b为主元

或者以c为主元

结果都会是一样的

它是轮转对称的

同学们不妨一试

当局面比较混乱

万事无头绪，不知从何下手

此时，不如拎出一条主线

抓住主要矛盾

并以此为切入点

也许就是一个突破口

同学们可以试着用主元法

解决下列因式分解问题

（答案在文末公布）

“十字拆添换主元”

这些方法都讲完了

同学们要注意的是

方法是死的

思维是活的

里面蕴含着的对立统一

整体与部分，有借有还

欲擒故纵，擒贼擒王

宏观思维，观察入微

种种的思想

是可以让你受益终身的

希望对同学们有所帮助

☆ 答案 ☆

十字相乘法

拆项与添项

换元法（整体思维）

主元法

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