学会解决折叠类综合问题，提升数学综合能力

一名学生数学综合素质高低，不仅仅是体现在掌握多少数学知识上，更加体现在一个人运用知识解决问题能力水平上面。同时，数学综合素质高的学生，对数学思想也有一定程度的领悟，能够运用数学思想方法去解决生活实际当中的问题。

中考和高考可以说是大家最关心两场考试，几乎很多人的一生都要经历这两场重要考试。数学作为其中重要一门科目，很多时候都起到拉分的作用，年年都受到考生、家长、社会等普遍的关注。加上数学能很好考查一个人运用知识解决问题的能力，为高一级学校选拔人才的时候能很好体现区分度，自然也受到命题老师“特殊照顾”。

中高考数学考查考生能力的题型非常多。如有动点综合问题、分类讨论综合问题、函数综合问题、几何综合问题、函数几何综合问题、数列综合问题、圆锥曲线综合问题、方案设计问题、操作试验问题等等。这些大家耳熟能详的经典题型，除了能考查一个人知识掌握情况，更能考查一个人数学综合水平高低。

因此，无论是平时数学学习，还是在中高考冲刺阶段，我们都需要花一定时间去学习，去研究，最起码做到心中有数，一边考试时候不至于不知所措。

今天我们就一起来讲讲中考数学当中，操作试验类问题中的折叠类综合问题，希望能帮助到大家的数学学习以及中考数学复习。

折叠类综合问题，题型多样、变化灵活、知识点多，蕴含丰富数学思想方法。折叠类综合问题不仅能是考查学生空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，而且能直接运用折叠相关性质的说理计算题，发展到基于折叠操作的综合题，甚至是出现在一些地方的中考数学压轴题上。

解决折叠问题时，首先要对图形折叠有一准确定位，把握折叠的实质，抓住图形之间最本质的位置关系，从点、线、面三个方面入手，发现其中变化的和不变的量。

典型例题分析1：

如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3．

（1）求MP的值；

（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时，△MEF的周长最小？

（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）

考点分析：

几何变换综合题；综合题．

题干分析：

（1）根据折叠的性质和矩形性质以得PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，然后利用勾股定理可计算出MP=5；

（2）如图1，作点M关于AB的对称点M′，连接M′E交AB于点F，利用两点之间线段最短可得点F即为所求，过点E作EN⊥AD，垂足为N，则AM=AD﹣MP﹣PD=4，所以AM=AM′=4，再证明ME=MP=5，接着利用勾股定理计算出MN=3，所以NM′=11，然后证明△AFM′∽△NEM′，则可利用相似比计算出AF；

（3）如图2，由（2）知点M′是点M关于AB的对称点，在EN上截取ER=2，连接M′R交AB于点G，再过点E作EQ∥RG，交AB于点Q，易得QE=GR，而GM=GM′，于是MG+QE=M′R，利用两点之间线段最短可得此时MG+EQ最小，于是四边形MEQG的周长最小，在Rt△M′RN中，利用勾股定理计算出M′R的值，就可以求得四边形MEQG的最小周长值。

解题反思：

本题考查了几何变换综合题：熟练掌握折叠的性质和矩形的性质；会利用轴对称解决最短路径问题；会运用相似比和勾股定理计算线段的长。

折叠操作，说的简单点就是将图形的一部分沿着一条直线翻折1800，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，我们一定要弄清楚的是：其中“折”是过程，“叠”是结果。

折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用。所以在解决有关的折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质。

折叠类综合问题考查的着眼点日趋灵活，突出考查能力的“主体地位”意图日渐明显。因此，我们如果要想拿到折叠类综合问题的分数，就需要提高识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力等等。

解决折叠类综合问题，我们要学会进一步发现图形中的数量关系；其次要把握折叠的变化规律，充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系用方程的形式表达出来，运用所学知识合理、有序、全面的解决问题。

折叠类综合问题一般体现以下三个方面的折叠：

1、利用点的对称  

对称点的连线被对称轴垂直平分，连结两对称点既可以得到相等的线段，也可以构造直角三角形，本题把折叠问题转化为轴对称问题，利用勾股定理和相似求出未知线段，最后把所求的线段转化到直角三角形中去处理。

2、利用线段的对称性质

利用对称的思想来证明线段的相等比用其他方法快捷而且灵活。

3、利用面对称的性质

在折叠问题中,利用面的对称性可得到相等的角、全等的图形和相等的面积。

典型例题分析2：

考点分析：

折叠（轴对称）——轴对称的性质、特殊平行四边形——矩形的性质、锐角三角函数——三角函数的求法、勾股定理。

题干分析：

折叠矩形，可以得到“轴对称”的图形，对于线段相等、对应角相等、对应的三角形全等；由锐角的正切值可以转化为相应直角三角形的直角边之比；在直角三角形中，利用勾股定理可以列出方程解决问题。

折叠类综合问题蕴含轴对称性质，那么我们就要掌握好轴对称相关知识内容，如根据轴对称的性质，我们可以得到以下这些内容：

1、折叠重合部分一定全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴；

2、互相重合两点（对称点）之间的连线必被折痕垂直平分；

3、对称两点与对称轴上任意一点连结所得的两条线段相等；

4、对称线段所在的直线与对称轴的夹角相等。

因此，如果你想能很好解决折叠类综合问题，要想使解题思路更加清晰，解题步骤更加简洁。就需要在解题过程中充分运用以上这些抽对称相关性质内容，借助辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数等等知识内容来解决有关折叠类综合问题。

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