从七宝的题看七宝的突飞猛进

2017-07-28 10:59

来源：上海初高中数学

作者：上海初高中数学

从七宝的题看七宝的突飞猛进

这是仅次于四校的存在，八大居首

我们再来看看七宝的题（高二期末）：

这七道题目中，我觉得第7道题是最简单的，而求球面距离，是不少高中生都跳不过去的坎。这七道题中，我觉得一个高二学生，能不靠蒙而做对其中4道，实力水平就很不错。同学们可以动笔思考一下，看看自己能做对几题。而对一个老师来说，要全做对，明显不是一件容易的事。（一些教育机构可以拿这些题面试老师，给半小时，错了2个以上就可以直接不要了，哈哈哈）

☆ 第6题 ☆

立体变平面，天堑变通途。不少学生做此题，无论建立坐标系，还是想通过三角函数，无不进入死胡同。而只要转换角度，想到将其展开，三维变二维，答案也即秒解，答案为6。这个思路666，刷这种题，你还会觉得死板枯燥吗？其实你反对的“刷题”并不是这种题，你如果了解这些好题，你就不会反对刷题了。

☆ 第7题 ☆

由题可知，半径为2，球面距离2π/3

☆ 第8题 ☆

可以看作从n+k个球中（n个白球，k个黑球），取出m个球，等价于可以分为k+1类：

第1类，取出的m个球全是白球

第2类，m-1个白球，1个黑球

第3类，m-2个白球，2个黑球

……

第k+1类，m-k个白球，k个黑球

这k+1类的和即等式左边，所以等于(n+k)C(m)

☆ 第9题 ☆

这道题几何方法还没想到，无奈建系，根据cosθ=cosαcosβ这个公式，可知AA'与平面xOy所成线面角为45°，从而求出A'坐标，推出C'坐标，所以AC'为√85。当然这是我的经验，无需cosθ=cosαcosβ这个公式，A'坐标也不难求。这类题对于上海学生来说，是陌生的，因为上海的立体几何题，如果建系，极少用未知的线表示坐标轴

☆ 第10题 ☆

这道题是道老题，也是一道好题，本来是相当抽象的一道题，而我们并不需要这是一个怎样的几何体。构造如图长方体，于是该条线在三个方向上的投影就直观了，如上图，易知，a^2+b^2=8，(a+b)^2≤2(a^2+b^2)=16，所以最大值为4。本题想到了构造长方体，就不会太难，当然，对基本不等式的运用也要烂熟于胸。

☆ 第11题 ☆

图中每两个红点之间表示一段，可向上，可向下，共12段，这12段中任意4段向下，8段向上，即可使得a13=4，所以12C4=495，这图代数解释麻烦，几何解释简洁，然后本质上居然是一道排列组合题，如果没看懂题，谁能想到？如果不跳出数列的套儿，可能也难出来

☆ 第12题 ☆

本题还是要跳出立体几何的套儿，放到平面中，建系，定好特殊点的坐标，该抛物线就能求出，所以p=√2/2

这是这份试卷的7道填空题，个人觉得比较有趣，且思维方法比较独特新鲜。好题都有画面感，选出这些好题的老师，也定是题海泳者，阅尽无数题目，于茫茫题海选出漂亮的贝壳，让学生知道该抓住数学中的哪些美丽，让学生刷的不仅仅是题，刷的是“思维”。因为这些题，只要抓到了点，运算量并不大。关键在于那些“点”，是需要数学老师带给学生的，一个数学老师的水平，也体现在这了。

思索了这些，就明白，七宝不强就怪了，何况这仅是高二，还有高三一年训练，那时又是一种水平了。